九州大学 1986年度
文系数学 第3問（理系 第3問）

解答

(1)

まず $9<a<10$ であるから $a>0,a-1>0,\dots ,a-9>0$ である。したがって $a_1=a,a_2=a-1,\dots ,a_{10}=a-9$ である。

次に $a_{11}=|a-9|-1=a-10$ であり，これは $-1<a-10<0$ を満たす。また $a_{12}=|a-10|-1=10-a-1=9-a$ であり，これも負である。さらに $|9-a|-1=a-9-1=a-10$ となるので，$a_{11}$ 以後は $a-10,9-a,a-10,9-a,\dots$ が交互に現れる。

よって，$1\leqq n\leqq 10$ では $S_n=a+(a-1)+\cdots +(a-n+1)=na-\frac{n(n-1)}{2}$ である。

また $S_{10}=10a-45$ であり，その後の2項の和は $(a-10)+(9-a)=-1$ である。したがって $m=0,1,2,\dots$ として $S_{10+2m}=10a-45-m$ である。さらにその次の項 $a-10$ を足すと $S_{11+2m}=10a-45-m+(a-10)=11a-55-m$ となる。

まとめると

である。

(2)

まず $1\leqq n\leqq 10$ では $S_n=na-\frac{n(n-1)}{2}>9n-\frac{n(n-1)}{2}$ であり，特に $n\leqq 10$ では正である。したがって $S_n=0$ は $n\geqq 11$ でだけ起こり得る。

偶数側 $n=10+2m$ では $S_{10+2m}=0$ より $10a-45-m=0,a=\frac{m+45}{10}$ である。条件 $9<a<10$ は $90<m+45<100$ すなわち $45<m<55$ である。整数 $m$ の最大は $54$ なので，この場合の $a$ の最大値は $\frac{54+45}{10}=\frac{99}{10}$ である。

奇数側 $n=11+2m$ では $S_{11+2m}=0$ より $11a-55-m=0,a=\frac{m+55}{11}$ である。条件 $9<a<10$ は $99<m+55<110$ すなわち $44<m<55$ である。整数 $m$ の最大は $54$ なので，この場合の $a$ の最大値は $\frac{54+55}{11}=\frac{109}{11}$ である。

最後に $\frac{109}{11}>\frac{99}{10}$ であるから，求める最大値は $\frac{109}{11}$ である。この値では $m=54$，すなわち $n=11+2\cdot 54=119$ で実際に $S_n=0$ となる。