問題
，，を空間内の単位ベクトルとし，任意の単位ベクトルに対して，が一定の値をとるとする．ただし，はベクトル，の内積を表す．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) を求めよ．
(2) ，，は互いに直交することを示せ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
一定値 を求めるには，任意に取った直交する3方向の単位ベクトルを に代入して和を取る。各ベクトルの3方向への成分の平方和は長さの平方になるので， が出る。互いの直交性は，，， を順に代入し，平方和が0になることから示す。
解答
(1)
空間内に，互いに直交する3つの単位ベクトル を取る。仮定より， としたときの値はいずれも である。したがって
である。 は直交する単位ベクトルなので，右辺の各和はそれぞれのベクトルの長さの平方に等しい。よって である。したがって である。
(2)
(1) より，任意の単位ベクトル に対して である。ここで とおくと， は単位ベクトルだから となる。したがって である。平方はどちらも0以上なので を得る。
同じように とおけば となり である。以上より， は互いに直交する。
別解。座標軸を の方向に一つ取ると， を代入するだけで， と が に垂直であることがわかる。次に を代入すれば，残った と の垂直も出る。一定値の条件は強く，特別な方向を代入するだけで全ての内積が決まる。