問題
点を中心とする半径1の円と放物線 が原点以外の点で交わるとする．この円と2つの放物線，で囲まれる図形をとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) を軸のまわりに回転して得られる回転体の体積をで表せ．
(2) が最大となるの値を求めよ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
円は と書ける。放物線 との原点以外の交点が存在することから が必要である。回転体の断面では， では2つの放物線の間， では円と の間を回転する。半径の二乗の差を積分して を出し，導関数の符号で最大を決める。
解答
(1)
円の方程式は であるから と書ける。
まず，放物線 と円の原点以外の交点を求める。両式を等しくして である。 の交点では で割れて となる。原点以外の交点があるためには すなわち である。
また，放物線 と円の原点以外の交点は より である。 では，外側が ，内側が であるから，回転断面の面積は である。 では，外側が円 ，内側が であるから，回転断面の面積は である。
したがって体積 は である。第一項は である。第二項を計算すると である。これらを整理して
を得る。
(2)
で
である。よって停留点は の解であり， である。このうち を満たすのは だけである。
導関数の符号を見ると，もう一つの解 は1より大きいので， では で は増加し， で は減少する。したがって が最大となるのは である。