九州大学 1986年度
文系数学 第1問

解答

(1)

直線 $l$ を $x$ 軸とし，$C_1$ の接点 $P$ を原点に取る。すると $C_1$ の中心は $(0,a)$ である。また $PQ=s$ とおけば，$C_2$ の中心は $(s,b)$ である。

2つの円は互いに外接しているので，中心間距離は $a+b$ である。したがって $s^2+(b-a{)}^2=(a+b{)}^2$ である。右辺から左辺の縦方向の差を引くと $s^2=(a+b{)}^2-(b-a{)}^2=4ab$ である。$s>0$ より $PQ=2\sqrt{ab}$ を得る。

(2)

直線 $l$ に接し，半径が $r$ である円の中心を $(x,r)$ とする。この円が $C_1$ に外接する条件は $x^2+(r-a{)}^2=(r+a{)}^2$ であるから $x^2=4ar$ である。したがって $x=\pm 2\sqrt{ar}$ である。

また，この円が $C_2$ に外接する条件は $(x-2\sqrt{ab}{)}^2+(r-b{)}^2=(r+b{)}^2$ であり，これより $(x-2\sqrt{ab}{)}^2=4br$ である。

まず，新しい円の中心が2つの円の間にある場合を考える。このとき $x=2\sqrt{ar},2\sqrt{ab}-x=2\sqrt{br}$ なので $\sqrt{ar}+\sqrt{br}=\sqrt{ab}$ である。両辺を $\sqrt{abr}$ で割ると $\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{r}}$ であるから $r_1=\frac{ab}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}$ となる。

次に，新しい円の中心が $C_1$ の外側にある場合を考える。このとき $x=-2\sqrt{ar}$ であり，$C_2$ との水平距離は $2\sqrt{ab}+2\sqrt{ar}=2\sqrt{br}$ となる。よって $\sqrt{br}-\sqrt{ar}=\sqrt{ab}$ である。両辺を $\sqrt{abr}$ で割ると $\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{r}}$ であり，$0<a<b$ だから $r_2=\frac{ab}{(\sqrt{b}-\sqrt{a}{)}^2}$ である。

したがって，求める2つの円の半径の積は

である。よって $\frac{a^2{b}^2}{(b-a{)}^2}$ となる。

別解。半径 $u,v$ の2円が同じ直線に接して互いに外接するとき，接点間の距離は $2\sqrt{uv}$ である。これを $a,b,r$ の3円に対して用いれば，接点が $P,Q$ の間に入る場合は $2\sqrt{ar}+2\sqrt{br}=2\sqrt{ab}$，外側に来る場合は $2\sqrt{br}-2\sqrt{ar}=2\sqrt{ab}$ となり，上と同じ2つの半径を得る。