問題
方程式で与えられるだ円を考える．
(1) だ円上の点を原点のまわりに回転した点をとするときが満たす方程式を求めよ．
(2) だ円と直線とで囲まれる領域のうちの右上の部分を，直線を軸に回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
直線 を新しい 軸、つまり にするため、45度回転後の座標を用いる。回転後のだ円を について解き、 の部分を のまわりに回転する。断面は、 では円板、 では外半径と内半径の差になるので、2つの積分に分ける。
解答
(1)
点 を原点のまわりに 回転した点を とすると である。したがって逆に である。
これを に代入すると
である。両辺を整理して となるから、 である。
(2)
この座標では、直線 は である。したがって、求める回転体は、だ円 のうち の部分を のまわりに回転してできる。
だ円の方程式を について解くと であるから である。
上側の枝を 下側の枝を とする。 の部分は、 では 、 では である。
したがって体積は である。
まず である。第3項は で奇関数なので積分が になり、
である。
次に である。よって
である。 とおくと だから である。
したがって である。