問題
空間の点を中心とする半径1の球面上の点を考える．
(1) 点を通り，ベクトルに平行な直線の方程式を求めよ．
(2) 上の直線が球面と交わる以外の点の座標，および直線と平面との交点の座標を求めよ．
(3) 球面と平面の交わりをとする．点が上を動くとき，点の描く図形の方程式を求めよ．
出典：九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
直線は を通り方向 をもつので、媒介変数 で と置く。球面との交点は代入して 以外の根を取り、 平面との交点は から とする。最後に の 座標が である条件を の式にし、 へ移す。
解答
(1)
点 を通り、方向ベクトル に平行な直線なので、媒介変数 を用いて と表せる。
(2)
球面 は、中心が 、半径が であるから である。直線の式を代入すると となる。整理して を得る。 は点 に対応する。したがって 以外の交点 は のときであり、
である。
また 平面との交点 は を満たす点である。直線上では なので である。よって である。
(3)
点 が平面 上にある条件は、(2) の の 座標から である。したがって となる。 とおくと である。よって となる。両辺を4倍して整理すると すなわち である。
したがって、点 の描く図形は 平面上の円 である。