九州大学 1984年度理系数学第4問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x ≧ 0$ で定義され， $f (0) = a$ ， $x \to \infty lim f (x) = b$ となる連続関数で，導関数 $f^{'} (x)$ はつねに正なるものとする．

(1) このとき， $a < k < b$ なる $k$ に対して，関数 $G (x) = k x - \int_{0}^{x} f (s) d s$ は最大値をもつことを示せ．

(2) とくに， $f (x) = lo g (1 + x)$ とするとき， $G (x)$ の最大値を $k$ を用いて表せ．

出典：九州大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1) は $G^{'} (x) = k - f (x)$ を見る。 $f^{'} (x) > 0$ なので $f$ は単調に増加し、 $a < k < b$ と極限条件から $f (x_{0}) = k$ となる点がただ1つ存在する。その前後で $G^{'}$ の符号が変わることを示す。(2) は $f (x) = lo g (1 + x)$ で $x_{0} = e^{k} - 1$ とし、積分を計算して代入する。

解答

(1)

$G (x) = k x - \int_{0}^{x} f (s) d s$ を微分すると $G^{'} (x) = k - f (x)$ である。

また $f^{'} (x) > 0$ なので、 $f (x)$ は $x ≧ 0$ で単調に増加する。さらに $f (0) = a < k$ であり、 $lim_{x \to \infty} f (x) = b > k$ であるから、十分大きい $x$ では $f (x) > k$ となる。連続性より、ある $x_{0} > 0$ が存在して $f (x_{0}) = k$ となる。単調増加性により、この $x_{0}$ はただ1つである。 $0 ≦ x < x_{0}$ では $f (x) < k$ だから $G^{'} (x) > 0$ である。一方、 $x > x_{0}$ では $f (x) > k$ だから $G^{'} (x) < 0$ である。したがって $G (x)$ は $x = x_{0}$ まで増加し、その後減少する。よって $G (x)$ は最大値をもつ。

(2)

$f (x) = lo g (1 + x)$ のとき、(1) の条件は $k > 0$ のもとで考える。最大となる点は $lo g (1 + x) = k$ を満たすので $x = e^{k} - 1$ である。

また $\int_{0}^{x} lo g (1 + s) d s = [(1 + s) lo g (1 + s) - (1 + s)]_{0}^{x}$ であり、整理すると $\int_{0}^{x} lo g (1 + s) d s = (1 + x) lo g (1 + x) - x$ である。

したがって最大値は $k (e^{k} - 1) - {e^{k} k - (e^{k} - 1)}$ である。これを整理して $e^{k} - k - 1$ を得る。

九州大学 1984年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1984年度
理系数学第4問