九州大学 1984年度理系数学第2問解答・解説

問題

表が出る確率が $p$ $(0 < p < 1)$ である硬貨を投げて，表が出たら点数を1点増やし，裏が出たら点数をそのままとするゲームを考える．0点から始めて，硬貨を $n$ 回投げたあとでの点数が偶数である確率を $a_{n}$ とする．

(1) $a_{n} = a_{n - 1} (1 - 2 p) + p$ $(n ≧ 2)$ が成立することを示せ．

(2) $a_{n}$ を $p$ を用いて表せ．

(3) $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

偶数点である確率を、直前が偶数で裏が出る場合と、直前が奇数で表が出る場合に分けて漸化式を作る。求めた一次漸化式は固定値 $1/2$ を引くと等比数列になるので、初期値 $a_{0} = 1$ から一般項を出し、最後に $∣1 - 2 p ∣ < 1$ で極限を取る。

解答

(1)

$n - 1$ 回投げた後の点数が偶数である確率は $a_{n - 1}$ であり、奇数である確率は $1 - a_{n - 1}$ である。 $n$ 回目の後に偶数になるのは、次の2通りである。 $偶数点から裏が出る$ または $奇数点から表が出る$ である。裏が出る確率は $1 - p$ 、表が出る確率は $p$ なので $a_{n} = a_{n - 1} (1 - p) + (1 - a_{n - 1}) p$ である。これを整理して $a_{n} = a_{n - 1} (1 - 2 p) + p$ を得る。

(2)

上の漸化式から $a_{n} - \frac{1}{2} = (1 - 2 p) (a_{n - 1} - \frac{1}{2})$ である。0回投げた時点では点数は $0$ で偶数だから $a_{0} = 1$ である。したがって $a_{0} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ であり、等比数列として $a_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (1 - 2 p)^{n}$ となる。よって $a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 - 2 p)^{n}$ である。

(3)

$0 < p < 1$ より $- 1 < 1 - 2 p < 1$ である。したがって $(1 - 2 p)^{n} \to 0$ となるので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2}$ である。

九州大学 1984年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1984年度
理系数学第2問