京都大学 2025年度理系数学第5問解答・解説

問題

$θ$ は実数とする． $x y z$ 空間の2点 $A (0, 0, \frac{2}{4})$ ， $P (cos θ, sin θ, \frac{1}{2} cos θ)$ を通る直線 $A P$ が $x y$ 平面と交わるとき，その交点を $Q$ とする． $θ$ が $- \frac{π}{4} < θ < \frac{π}{4}$ の範囲を動くときの点 $Q$ の軌跡を求め，その軌跡を $x y$ 平面上に図示せよ．

出典：京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

直線 $A P$ 上の点を $A + λ (P - A)$ とおき， $z = 0$ から $λ$ を求める。与えられた範囲では $cos θ > \frac{2}{2}$ なので分母が負となり， $λ < 0$ であることを必ず確認する。 $Q = (X, Y)$ ， $R = X^{2} + Y^{2}$ とおくと $R = - λ$ で， $cos θ = - X / R$ が使える。これを $λ$ の式に代入して $R = - 1 - 2 X$ を得て，平方して双曲線に直す。最後に $θ = 0$ が範囲に含まれるため頂点は含まれること， $θ = \pm \frac{π}{4}$ は含まれないため枝は無限に近づくだけであることを確認する。

解答

直線 $A P$ 上の点を $A + λ (P - A)$ と表す。この点の $z$ 座標は

\frac{2}{4} + λ (\frac{1}{2} cos θ - \frac{2}{4})

である。これが $0$ になるとき

λ = - \frac{\frac{2}{4}}{\frac{1}{2} cos θ - \frac{2}{4}} = \frac{2}{2 - 2 cos θ}

である。

いま $- \frac{π}{4} < θ < \frac{π}{4}$ だから $cos θ > \frac{2}{2}$ であり， $2 - 2 cos θ < 0$ である。したがって $λ < 0$ である。

$Q = (X, Y)$ とおくと $X = λ cos θ, Y = λ sin θ$ である。さらに $R = X^{2} + Y^{2}$ とおくと， $λ < 0$ より $R = - λ$ である。また $cos θ = \frac{X}{λ} = - \frac{X}{R}$ である。

$λ$ の式を $λ (2 - 2 cos θ) = 2$ と書き， $λ = - R$ ， $cos θ = - \frac{X}{R}$ を代入すると $(- R) (2 + \frac{2 X}{R}) = 2$ すなわち $R = - 1 - 2 X$ を得る。左辺 $R$ は正なので，特に $- 1 - 2 X > 0$ である。

両辺を平方すると $X^{2} + Y^{2} = (1 + 2 X)^{2}$ であり，整理して $(X + 2)^{2} - Y^{2} = 1$ となる。

範囲を確認する。 $λ < 0$ かつ $cos θ > 0$ なので $X = λ cos θ < 0$ である。また $∣ sin θ ∣ < cos θ$ より $∣ Y ∣ < - X$ である。双曲線 $(X + 2)^{2} - Y^{2} = 1$ のうちこの条件を満たすのは左側の枝であり，頂点は $(- 1 - 2, 0)$ である。実際， $θ = 0$ は許されるのでこの頂点は含まれる。一方， $θ = \pm \frac{π}{4}$ は範囲に含まれないので，枝は漸近線に近づくが端点としては持たない。

したがって求める軌跡は $(X + 2)^{2} - Y^{2} = 1, X ≦ - 1 - 2$ で表される左側の枝である。図示すると，中心 $(- 2, 0)$ ，頂点 $(- 1 - 2, 0)$ ，漸近線 $Y = \pm (X + 2)$ をもつ双曲線の左枝になる。

京都大学 2025年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

京都大学 2025年度
理系数学第5問