問題
正の整数を用いて
と表される正の整数の最小値を求めよ．
出典：京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まず から が必要であることに注目する。6乗の剰余は で割れるかどうかで に分かれるが，4乗の剰余は まで出るため，ここを雑に扱わない。 と仮定すると和が にならないことを示し，続いて から を導く。最後は が正の3の倍数であることを使って，小さい候補 だけを確実に調べる。
解答
であるから，必要条件として である。
整数 について， なら であり， なら である。また4乗については，9で割った剰余を調べると のいずれかであり，特に のときだけ となる。
もし なら である。このとき の剰余は のいずれかなので， となり， にはならない。したがって である。すると なので，今度は が必要であり， である。
よって はともに正の3の倍数である。候補を小さい順に見る。 なら であるから， より小さい値を調べる段階では しかない。さらに も3の倍数である。
のとき であり， だが は平方数ではない。したがってこの値は条件を満たさない。
次に とすると であるから， として条件を満たす。 は正の3の倍数で，これより前の候補は上で尽くしているので，求める最小値は である。