京都大学 2025年度理系数学第3問解答・解説

問題

$e$ は自然対数の底とする． $x > \frac{1}{e}$ において定義された次の関数 $f (x), g (x)$ を考える．

f (x) = x^{2} lo g x

g (x) = x^{2} lo g x - \frac{1}{1 + 2 lo g x}

実数 $t$ は $t > \frac{1}{e}$ を満たすとする．曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(t, f (t))$ における接線に垂直で，点 $(t, g (t))$ を通る直線を $l_{t}$ とする．直線 $l_{t}$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $p (t)$ とする． $t$ が $\frac{1}{e} < t ≦ e$ の範囲を動くとき， $p (t)$ の取りうる値の範囲を求めよ．

出典：京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

接線に垂直な直線の傾きを， $f^{'} (t) = t (1 + 2 lo g t)$ から求める。 $u = 1 + 2 lo g t$ とおくと，条件 $\frac{1}{e} < t ≦ e$ は $0 < u ≦ 3$ となり， $g (t)$ の分母も $u$ で整理できる。 $x$ 軸との交点は直線の式に $y = 0$ を代入して $p (t) = t + t ug (t)$ と表し， $t = e^{(u - 1) /2}$ を代入して1変数関数にする。最後は端点 $u = 3$ と内部の停留点 $u = \frac{2}{3}$ ，および $u = 0$ が含まれないことを確認して範囲を決める。

解答

$u = 1 + 2 lo g t$ とおく。 $\frac{1}{e} < t ≦ e$ より $0 < u ≦ 3, t = e^{\frac{u - 1}{2}}$ である。

まず $f^{'} (x) = 2 x lo g x + x = x (1 + 2 lo g x)$ だから，曲線 $y = f (x)$ の $x = t$ における接線の傾きは $f^{'} (t) = t (1 + 2 lo g t) = t u$ である。したがって，これに垂直な直線 $l_{t}$ の傾きは $- \frac{1}{t u}$ である。

$l_{t}$ は点 $(t, g (t))$ を通るので，その方程式は $y - g (t) = - \frac{1}{t u} (x - t)$ である。 $x$ 軸との交点では $y = 0$ であるから，その $x$ 座標 $p (t)$ は $- g (t) = - \frac{1}{t u} (p (t) - t)$ すなわち $p (t) = t + t ug (t)$ を満たす。

ここで

lo g t = \frac{u - 1}{2}, g (t) = t^{2} lo g t - \frac{1}{u} = \frac{1}{2} t^{2} (u - 1) - \frac{1}{u}

である。したがって

p (t) = t + t u (\frac{1}{2} t^{2} (u - 1) - \frac{1}{u}) = t + \frac{1}{2} t^{3} u (u - 1) - t = \frac{1}{2} t^{3} u (u - 1) = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} u (u - 1) .

よって $ϕ (u) = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} u (u - 1) (0 < u ≦ 3)$ の値域を調べればよい。

微分すると

ϕ^{'} (u) = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} {\frac{3}{2} u (u - 1) + 2 u - 1} = \frac{1}{4} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} (3 u^{2} + u - 2) = \frac{1}{4} e^{\frac{3}{2} (u - 1)} (3 u - 2) (u + 1) .

$0 < u ≦ 3$ では $e^{\frac{3}{2} (u - 1)} > 0$ かつ $u + 1 > 0$ であるから， $ϕ (u)$ は $0 < u < \frac{2}{3}$ で減少し， $\frac{2}{3} < u ≦ 3$ で増加する。したがって最小値は $u = \frac{2}{3}$ でとり，

ϕ (\frac{2}{3}) = \frac{1}{2} e^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{9 e}

である。また最大値は右端 $u = 3$ でとり， $ϕ (3) = \frac{1}{2} e^{3} \cdot 3 \cdot 2 = 3 e^{3}$ である。なお $u = 0$ は範囲に含まれないが，そこで最大・最小を与えるわけではない。

以上より， $p (t)$ の取りうる値の範囲は $- \frac{1}{9 e} ≦ p (t) ≦ 3 e^{3}$ である。

京都大学 2025年度理系数学 第3問

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