京都大学 2025年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

問1 $i$ は虚数単位とする．複素数 $z$ が，絶対値が2である複素数全体を動くとき， $z - \frac{i}{z}$ の最大値と最小値を求めよ．

問2 次の定積分の値を求めよ．

(1) $\int_{0}^{3} \frac{x x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} d x$

(2) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - cos x}{1 + cos x} d x$

出典：京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

問1は $z = 2 (cos θ + i sin θ)$ と極形式でおき， $z - \frac{i}{z}^{2}$ を $sin 2 θ$ の一次式まで落とす。絶対値そのものではなく2乗を最大・最小化すれば，平方根を取る段階で符号の心配がない。問2(1)は分子を3項に分け， $\frac{x x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ， $\frac{2 x ^{3}}{x ^{2} + 1} = 2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ と整理して基本積分に帰着する。(2)は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で半角の正負が決まることを確認して $tan \frac{x}{2}$ に直す。半角公式を使わず，分子分母を有理化して $\frac{sin x}{1 + cos x}$ と見る別解も自然である。

解答

問1

$z = 2 (cos θ + i sin θ)$ とおく。このとき

\frac{i}{z} = \frac{i}{2} (cos θ - i sin θ) = \frac{1}{2} sin θ + \frac{i}{2} cos θ

であるから，

z - \frac{i}{z} = (2 cos θ - \frac{1}{2} sin θ) + i (2 sin θ - \frac{1}{2} cos θ)

である。したがって

z - \frac{i}{z}^{2} = (2 cos θ - \frac{1}{2} sin θ)^{2} + (2 sin θ - \frac{1}{2} cos θ)^{2} = 4 (cos^{2} θ + sin^{2} θ) + \frac{1}{4} (sin^{2} θ + cos^{2} θ) - 4 sin θ cos θ = \frac{17}{4} - 2 sin 2 θ .

$- 1 ≦ sin 2 θ ≦ 1$ であり，両端の値は実際にとれるので， $\frac{9}{4} ≦ z - \frac{i}{z}^{2} ≦ \frac{25}{4}$ となる。よって最小値は $\frac{3}{2}$ ，最大値は $\frac{5}{2}$ である。

問2

(1) まず被積分関数を3つに分けると，

\frac{x x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1} + 2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}

である。ゆえに

\int_{0}^{3} \frac{x x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} + 1}{x ^{2} + 1} d x = \int_{0}^{3} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x + \int_{0}^{3} (2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1}) d x + \int_{0}^{3} \frac{d x}{x ^{2} + 1} = [x^{2} + 1]_{0}^{3} + [x^{2} - lo g (x^{2} + 1)]_{0}^{3} + [arctan x]_{0}^{3} = (2 - 1) + (3 - lo g 4) + \frac{π}{3} .

したがって求める値は $4 - lo g 4 + \frac{π}{3}$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $sin \frac{x}{2} ≧ 0$ ， $cos \frac{x}{2} > 0$ である。半角公式より

\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{2 sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 cos ^{2} \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2}

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - cos x}{1 + cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} tan \frac{x}{2} d x = [- 2 lo g (cos \frac{x}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} = - 2 lo g \frac{2}{2} = lo g 2.

別解。問2(2)は有理化してもよい。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $sin x ≧ 0$ だから

\frac{1 - cos x}{1 + cos x} = \frac{( 1 - cos x ) ^{2}}{sin ^{2} x} = \frac{1 - cos x}{sin x} = \frac{sin x}{1 + cos x}

である。したがって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin x}{1 + cos x} d x = [- lo g (1 + cos x)]_{0}^{\frac{π}{2}} = lo g 2

となり，同じ値を得る。

京都大学 2025年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

問1

問2

(2)

京都大学 2025年度
理系数学第1問