問題
座標空間の4点は同一平面上にないとする．は0でない実数とする．直線上の点，直線上の点，直線上の点を
が成り立つようにとる．
(1) がを満たす範囲であらゆる値をとるとき，3点の定める平面は，の値に無関係な一定の点を通ることを示せ．さらに，そのような点はただ一つに定まることを示せ．
(2) 四面体の体積をとする．(1)における点について，四面体の体積をを用いて表せ．
方針
を基底にして，点を座標 で表す。 はそれぞれ3本の座標軸上の切片なので，平面 は切片形 で書ける。条件式と同じ係数を持つ点を探せば一定点の存在が出る。一意性は とおき， のもとで平面方程式が恒等的に成り立つことから係数比較する。体積は， の に関する係数和が であるため，平面 からの距離が の距離の になることを使う。
解答
(1)
は一次独立である。点 を
と表すことにする。この座標で であるから，平面 は と書ける。
いま
と定める。この点の座標は である。したがって
となる。よって，条件を満たすすべての に対して，点 は平面 上にある。
次に一意性を示す。条件を満たすすべての平面 に共通する点を とする。，， とおくと，条件は であり，共通点であることから が成り立つ。 を代入すると
である。ここで は条件を保ったまま範囲をもって動かせるので， の係数はともに でなければならない。したがって となる。これより であり，共通点は上で得た ただ一つである。
(2)
点 は
であり， の係数の和は である。すなわち， の係数の和を とする表し方で書けば である。
平面 は，この座標では で表される。 は ， は にある。したがって，平面 から までの距離は，平面 から までの距離の 倍である。底面を三角形 と見れば，四面体の体積は高さに比例するので，四面体 の体積は四面体 の体積 の 倍である。
よって求める体積は である。