問題
座標平面において，曲線，曲線，直線を考える．
(1) 点と異なる点でと接し，さらにとも接するような直線がただ一つ存在することを示せ．
(2) との共有点をとし，その座標をとする．また，との共有点をとし，との共有点をとする．曲線のの部分，線分，および線分で囲まれる図形の面積を求めよ．
方針
は で ， で となる。 の接点の 座標を とし，左右それぞれの場合で接線の傾きと切片を出す。 への接線条件は，同じ傾きの接線の切片を比べればよい。接点は負側に一意に決まり，面積は と に分けて， を積分する。
解答
(1)
は絶対値を外すと
である。 とは異なる点で接するので，接点の 座標は0ではない。
まず の における接線を考える。このとき使う式は で，傾きは である。接線は となる。一方， に傾き の接線を引くと，接点の 座標 は を満たし，その接線の切片は である。ここで とすると である。したがって切片一致の条件は である。これを整理すると となり， に反する。よって正側では条件を満たさない。
次に とする。このとき の式は で，傾きは である。接線は である。 側で同じ傾きの接線の接点を とすると より である。切片が等しい条件は である。整理すると となるので である。したがって接線は である。
以上より，条件を満たす直線はただ一つであり， である。
(2)
(1)より であり， である。また であり， と の共有点は
である。
求める図形は， から まで，曲線 が上，直線 が下になっている部分である。ただし は で式が変わるので，積分を分ける。 では だから，上下の差は
である。 では だから，上下の差は である。よって面積 は
である。計算すると
であり，
である。したがって である。