京都大学 2025年度文系数学第3問解答・解説

問題

$n$ は正の整数とする．1枚の硬貨を投げ，表が出たら1，裏が出たら2と記録する．この試行を $n$ 回繰り返し，記録された順に数字を左から並べて $n$ 桁の数 $X$ を作る．ただし，数の表し方は十進数とする．このとき， $X$ が6で割り切れる確率を求めよ．

出典：京都大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

6で割り切れる条件を，末位が偶数であることと各桁の和が3の倍数であることに分ける。使う数字は1と2だけなので，末位は必ず2でなければならない。末位を2に固定し，残り $n - 1$ 桁のうち2の個数を $h$ とおくと，桁和は $n + 1 + h$ になる。あとは $h$ の3での剰余条件を満たす二項係数の和を求める。

解答

$X$ が6で割り切れるためには， $X$ が2でも3でも割り切れることが必要十分である。使われる数字は1と2だけなので，2で割り切れるためには末位が2でなければならない。

末位を2に固定する。残りの $n - 1$ 桁のうち，2が出た回数を $h$ とする。このとき残りの桁にある1の個数は $n - 1 - h$ であるから，桁の和は $(n - 1 - h) \cdot 1 + h \cdot 2 + 2 = n + 1 + h$ である。したがって3で割り切れる条件は $n + 1 + h \equiv 0 (mod 3)$ すなわち $h \equiv - n - 1 (mod 3)$ である。

よって有利な並びの個数は

A_{n - 1} = 0 ≦ h ≦ n - 1 h \equiv - n - 1 (mod 3) \sum_{n - 1} C_{h}

である。この値を求めるため，次の形で整理する。 $m = n - 1$ とし，

A_{m} = 0 ≦ h ≦ m h \equiv - m - 2 (mod 3) \sum_{m} C_{h}

とおく。 $m = 0, 1, 2$ では直接調べて $A_{0} = 0, A_{1} = 1, A_{2} = 1$ である。 $m$ 桁にさらに3桁を加えると，目標となる剰余は3だけずれるので同じである。追加した3桁のうち2が出る個数を $j$ とすると， $j = 0, 3$ の場合はもとの $m$ 桁で同じ剰余を取る必要があり，寄与は $2 A_{m}$ である。 $j = 1, 2$ の場合は，もとの $m$ 桁で残り2つの剰余のどちらかを取る必要があり，その個数の和は $2^{m} - A_{m}$ である。それぞれの選び方は $_{3} C_{1} = 3$ ， $_{3} C_{2} = 3$ 通りなので $A_{m + 3} = 2 A_{m} + 3 (2^{m} - A_{m}) = 3 \cdot 2^{m} - A_{m}$ である。

この漸化式と初期値から $A_{m} = \frac{2 ^{m} + ( - 1 ) ^{m + 1}}{3}$ が成り立つ。実際， $m = 0, 1, 2$ で正しく，この式を右辺に代入すると $3 \cdot 2^{m} - \frac{2 ^{m} + ( - 1 ) ^{m + 1}}{3} = \frac{2 ^{m + 3} + ( - 1 ) ^{m + 4}}{3}$ となり， $m + 3$ でも成り立つ。

したがって有利な並びの個数は $A_{n - 1} = \frac{2 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3}$ である。全体の並びは $2^{n}$ 通りで等確率だから，求める確率は $\frac{A _{n - 1}}{2 ^{n}} = \frac{1}{6} + \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ である。

京都大学 2025年度文系数学 第3問

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