問題
次の各問に答えよ．
問1 は実数で
を満たすとする．このときであることを示せ．
問2 がで割り切れるような正の整数をすべて求めよ．
出典：京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
問1は，共通値を とおき， を使って対数で を同じ文字で表す。問2は， で割った余りを まで下げる。すると が を割り切る必要があるので， を除外し， を余りの大きさで絞って確認する。
解答
問1
共通の値を とおく。すなわち である。 なので対数をとることができる。， とおくと， であるから である。 とおけば である。したがって
である。よって が示された。 の場合も となるので同じ計算に含まれている。
問2
で割った余りを求める。 とみなして整理すると である。したがって であり，さらに である。よって
である。
したがって，条件は と同値である。 のとき， であり， が を割り切るなら，正の数 は を割り切る。しかし なので不可能である。
したがって を調べればよい。 では であるから，割り切れることはない。残る について確認すると， であり，いずれも割り切れる。よって求める正の整数は である。