問題
実数についての次の条件(＊)を考える．
(＊) ある実数係数の2次式と，ある実数に対して，についての恒等式
が成り立つ．
この条件(＊)を満たす点全体の集合を座標平面上に図示せよ．
出典：京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
とおき， の4次，3次，2次，1次係数を比較する。4次係数から ，3次係数から が決まる。左辺には1次項がないので が必要になり， と の2場合に分ける。定数項は で吸収できるため，係数条件は2次項までを見ればよい。
解答
実数係数の2次式を とおく。ただし，右辺に4次項があるので である。 は である。まず4次係数を比較する。右辺の4次係数は であり，左辺の4次係数は なので である。実数 についてこれを解くと である。
次に3次係数を比較する。右辺の3次係数は である。 を用いると だから すなわち である。
次に1次係数を見る。左辺には1次項がない。右辺の1次係数は， から出る と， から出る の和である。 より であるから が必要である。
場合1：
このとき より である。2次係数を比較すると，右辺の2次係数は となるので である。 は任意の実数を取りうるから， も任意の実数を取りうる。したがってこの場合は 上のすべての点が得られる。
場合2：
このとき なので である。2次係数を比較する。右辺の2次係数は である。 を代入すると である。 だから後ろ2項は打ち消し合い， となる。
逆に， の場合は上の係数を満たす が取れ， の場合も ，， とすれば，4次，3次，2次，1次係数が一致する。残る定数項の差は問題の で調整できる。
したがって条件を満たす点全体は である。座標平面上では， 軸全体と，上に開く放物線 の和集合として図示すればよい。