問題
関数のグラフのの部分をとする．このとき，下の条件を満たすような正の実数について，座標平面の点が動く領域の面積を求めよ．
「と直線は二つの異なる共有点を持つ．」
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
曲線はの部分だけなので，に置き換える。放物線と直線の共有点条件は，についての2次方程式が異なる2つの正の解をもつ条件になる。和・積・判別式から，の不等式を得る。は正なので，，の三角形から，判別式が正になる下側境界を考えればよい。この下側境界が正か負かで積分区間を分けて面積を求める。
解答
曲線は のの部分である。そこで とおくと，はであり， である。また直線は である。共有点の座標は すなわち を満たす。
と直線がで異なる2つの共有点をもつことは，この2次方程式が異なる2つの正の解をもつことと同値である。2つの解をとすると， はより自動的に成り立つ。正の2解をもつためには，さらに と，判別式が正であることが必要十分である。
したがって より である。また判別式について であり，整理すると となる。
よって求める領域は で表される。ここで下側の境界 が正になる範囲を調べる。方程式 は と同値であり，正の解は である。したがって，では下側境界がこの曲線になり，では下側境界はになる。
よって面積は
である。すなわち
となる。計算すると
である。