京都大学 2024年度
文系数学 第1問

解答

$O$を原点とし，$A,B$を $A=(1,0,0),B=(0,1,0)$ とおく。これは$OA=OB=1$かつ$\angle AOB=90^{\circ }$を満たす座標の取り方である。

$\angle COA=\angle COB$で，$OA=OB=OC=1$であるから，$C$の$A$方向成分と$B$方向成分は等しい。よって $C=(u,u,w)$ とおける。$OC=1$より $2u^2+w^2=1$ である。

次に角の条件を内積で表す。$\angle COA$の余弦は $\frac{\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}}{|OC||OA|}=u$ である。一方，$\angle ACB$については

であるから，$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=1-2u$ である。また $|CA{|}^2=|CB{|}^2=2-2u$ なので，$\cos \angle ACB=\frac{1-2u}{2-2u}$ である。条件$\angle COA=\angle ACB$より $u=\frac{1-2u}{2-2u}$ である。整理すると $2u^2-4u+1=0$ となるから $u=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

ただし$2u^2+w^2=1$より$2u^2\leqq 1$でなければならない。したがって $u=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ は不適であり，$u=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。よって $w^2=1-2u^2=2\sqrt{2}-2$ となる。

底面$OAB$は直角二等辺三角形で，面積は $\frac{1}{2}$ である。また，$C=(u,u,w)$の底面$z=0$からの高さは$|w|$である。したがって四面体$OABC$の体積は $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot |w|=\frac{|w|}{6}$ である。ゆえに $\boxed{\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{6}}$ である。