京都大学 2024年度
文系数学 第3問

解答

$g(x)=x^2-ax-\frac{3}{4}{a}^2$ とおく。このとき $f(x)=|g(x)|+ax+\frac{3}{4}{a}^2$ である。

$g(x)\geqq 0$のときは $f(x)=g(x)+ax+\frac{3}{4}{a}^2=x^2$ である。一方，$g(x)<0$のときは $f(x)=-g(x)+ax+\frac{3}{4}{a}^2=-x^2+2ax+\frac{3}{2}{a}^2$ である。後者を $h(x)=-x^2+2ax+\frac{3}{2}{a}^2=-(x-a{)}^2+\frac{5}{2}{a}^2$ とおく。

まず，$x^2$の部分からは最大候補として$1$が出る。実際，$x=-1$では $g(-1)=1+a-\frac{3}{4}{a}^2$ であり，少なくとも$0<a\leqq 1$では$g(-1)>0$なので$f(-1)=1$である。また$a$が大きい場合でも，後で出る$h(1)$が1より大きいので，最大値の比較には支障がない。

次に$h(x)$の最大を考える。$h(x)$は頂点$x=a$をもつ下に凸でない2次関数である。$0<a\leqq 1$のとき，頂点$x=a$は区間$[-1,1]$に含まれ，また$g(a)<0$なので，この点で $h(a)=\frac{5}{2}{a}^2$ をとる。したがって$0<a\leqq 1$では，最大値は $1\text{と}\frac{5}{2}{a}^2$ の大きい方である。比較すると $\frac{5}{2}{a}^2\leqq 1⟺0<a\leqq \sqrt{\frac{2}{5}}$ である。

$a\geqq 1$のとき，$h(x)$は区間$[-1,1]$で右端に向かって増加するので，最大候補は$x=1$での値 $h(1)=-1+2a+\frac{3}{2}{a}^2$ である。この値は$a\geqq 1$で1以上なので，これが最大値である。

以上より，求める最大値は

である。境界では隣り合う式の値が一致する。

別解。上の議論は，$f(x)=\max \left\{x^2,-x^2+2ax+\frac{3}{2}{a}^2\right\}$ と見ると短く整理できる。なぜなら，2つの式の差は

だからである。よって$f$の最大値は，$x^2$の最大値1と，$h(x)$の区間$[-1,1]$での最大値を比較すればよい。$h$の最大値は$0<a\leqq 1$で$\frac{5}{2}{a}^2$，$a\geqq 1$で$\frac{3}{2}{a}^2+2a-1$となり，上と同じ結論を得る。