問題
ある自然数を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表したとき，桁数がすべて同じになった．このような自然数で最大のものを求めよ．ただし，必要なら次を用いてもよい．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
同じ桁数をとする。底が大きいほど同じ数の桁数は短くなりやすいので，3つの底で桁になるための条件は，最大の下限以上，最小の上限以下であること，つまりに集約される。固定したで最大の候補はである。存在条件を対数で調べ，最大のが10であることを示す。
解答
ある自然数をとし，八進法，九進法，十進法での桁数がすべてであるとする。底で桁である条件は である。
ここでなので，3つの底で同時に桁になるためには であることが必要十分である。したがって，そのようなが存在するための条件は である。固定したで最大のはであるから，まず可能な最大のを求めればよい。
が成り立つには，特に が必要であり，これは すなわち と同値である。
与えられた評価より である。したがって である。
のときは であるから，となる。両辺は整数なので であり，は可能である。
一方，のときは であるから，は成り立たない。したがっては不可能であり，それ以上のも不可能である。
よって最大の桁数はであり，求める最大の自然数は である。計算して だから， である。