問題
個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率をとする．次の問いに答えよ．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
方針
立方体の6面を，向かい合う面の3組に分ける。辺を共有しないのは向かい合う面だけなので，同じ色を使えるのは同じ向かい合う組の中だけである。したがって，各組で使う色集合は互いに交わらない。では各組が1色ずつ使うしかなく，では色集合の大きさがまたはになる。この2場合をラベル付きの向かい合う3組に対して数える。
解答
立方体の向かい合う面を3組に分ける。向かい合う2面は辺を共有しないので同じ色でもよいが，それ以外の2面は辺を共有する。したがって，条件を満たすためには，各向かい合う組で使う色の集合が，ほかの向かい合う組で使う色の集合と交わらないことが必要十分である。
(1)
3色の場合を考える。3組の向かい合う面は，それぞれ少なくとも1色を使う。使える色は全部で3色しかないので，各組はちょうど1色ずつを使い，3組に3色を1色ずつ割り当てるしかない。
向かい合う3組は区別されるので，色の割り当て方は 通りである。全体の塗り方は，6面それぞれに3色のいずれかを塗るので 通りである。したがって である。
(2)
4色の場合を考える。3組の向かい合う面で使う色集合は互いに交わらず，各組は1色または2色を使う。6面全体で使える色は4色なので，色集合の大きさの組は だけである。
まずの場合，3組に異なる3色を割り当てる。これは 通りである。
次にの場合，2色を使う向かい合う組の選び方が3通りある。その組に使う2色の選び方は通りであり，その2色を向かい合う2面に塗る順序は2通りである。残り2組には，残った2色を1色ずつ割り当てるので2通りである。したがってこの場合は 通りである。
条件を満たす塗り方は合計 通りであり，全体の塗り方は通りである。よって である。