京都大学 2017年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする．さいころを $n$ 回振り，出た目の最大値 $M$ と最小値 $L$ の差 $M - L$ を $X$ とする．

(1) $X = 1$ である確率を求めよ．

(2) $X = 5$ である確率を求めよ．

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

$X = 1$ では，出た目全体が隣り合う2種類 ${k, k + 1}$ に含まれ，しかも両方が少なくとも1回出る必要がある。5通りの隣接ペアごとに，片方だけしか出ない列を除く。 $X = 5$ では最小値1，最大値6がともに出ることと同値なので，1が出ない場合，6が出ない場合を包除原理で除く。

解答

(1)

$X = 1$ となるには，出た目の最小値と最大値が隣り合っていなければならない。したがって，出る目は ${1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}$ のいずれか1つの集合に含まれ，しかもその2種類がどちらも少なくとも1回出る必要がある。

固定した隣接ペア ${k, k + 1}$ について，すべての出目がこの2種類に含まれる確率は $(\frac{2}{6})^{n}$ である。このうち， $k$ だけが出る場合と $k + 1$ だけが出る場合は，それぞれ確率 $(1/6)^{n}$ であり，この2つを除く。したがって固定したペアからの確率は $(\frac{2}{6})^{n} - 2 (\frac{1}{6})^{n}$ である。隣接ペアは5通りで互いに重ならないので

P (X = 1) = 5 {(\frac{2}{6})^{n} - 2 (\frac{1}{6})^{n}} = \frac{5 ( 2 ^{n} - 2 )}{6 ^{n}}

である。

(2)

$X = 5$ となるには，最小値が1で最大値が6であることが必要十分である。これは， $n$ 回のうち1の目と6の目がどちらも少なくとも1回出ることと同値である。

全体から，1が一度も出ない場合と6が一度も出ない場合を除く。ただし，1も6も出ない場合を二重に除いているので戻す。よって包除原理により $P (X = 5) = 1 - 2 (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{4}{6})^{n}$ である。

京都大学 2017年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2017年度
文系数学第5問