京都大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問に答えよ．ただし， $0.3010 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ であることは用いてよい．

(1) 100桁以下の自然数で，2以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．

(2) 100桁の自然数で，2と5以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1)は条件を満たす数を $2^{k}$ と書き， $2^{k} < 1 0^{100}$ を常用対数で評価して $k$ の最大値を決める。(2)は $2^{a} 5^{b}$ を， $a ≧ b$ なら $1 0^{b} 2^{a - b}$ ， $a < b$ なら $1 0^{a} 5^{b - a}$ と分ける。固定した残り指数に対して100桁になる10の指数はただ1つであることを確認し， $2^{c}$ 側と $5^{d}$ 側の個数を足す。

解答

(1)

2以外の素因数を持たない自然数は $2^{k} (k = 0, 1, 2, \dots)$ と書ける。ここで $k = 0$ は数 $1$ に対応する。

100桁以下であるための条件は $2^{k} < 1 0^{100}$ である。常用対数をとると $k lo g_{10} 2 < 100$ である。与えられた不等式から $332 lo g_{10} 2 < 332 \cdot 0.3011 = 99.9652 < 100$ であり，一方 $333 lo g_{10} 2 > 333 \cdot 0.3010 = 100.233 > 100$ である。したがって $k = 0, 1, 2, \dots, 332$ が可能であり，個数は $333$ である。

(2)

2と5以外の素因数を持たない自然数は $2^{a} 5^{b} (a, b ≧ 0)$ と書ける。これが100桁である条件は $1 0^{99} ≦ 2^{a} 5^{b} < 1 0^{100}$ である。

まず $a ≧ b$ の場合を考える。 $c = a - b$ とおくと $2^{a} 5^{b} = 1 0^{b} 2^{c}$ である。固定した $c$ について，100桁になる $b$ は $99 ≦ b + c lo g_{10} 2 < 100$ を満たす整数であり，区間の長さが1なので高々1つである。また $c lo g_{10} 2 < 100$ であればそのような $b ≧ 0$ がちょうど1つ存在する。よって(1)と同じく $c = 0, 1, 2, \dots, 332$ の333通りである。

次に $a < b$ の場合を考える。 $d = b - a$ とおくと $d ≧ 1$ であり $2^{a} 5^{b} = 1 0^{a} 5^{d}$ である。ここで $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ だから $0.6989 < lo g_{10} 5 < 0.6990$ である。100桁になる $a$ が存在する条件は $d lo g_{10} 5 < 100$ であり，このとき $a$ はただ1つ定まる。

実際， $143 lo g_{10} 5 < 143 \cdot 0.6990 = 99.957 < 100$ であり， $144 lo g_{10} 5 > 144 \cdot 0.6989 = 100.6416 > 100$ である。したがって $d = 1, 2, \dots, 143$ の143通りである。

以上より，求める個数は $333 + 143 = 476$ である。

京都大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2017年度
文系数学第2問