問題
座標空間において原点と点を通る直線をとし，点と点を通る直線をとする．上の2点，と，上の点をが正三角形となるようにとる．このとき，の面積が最小となるような，，の座標を求めよ．
出典：京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
正三角形の頂点から直線に下ろした垂線の足は，辺の中点になる。したがって，を直線上で動かしたときの高さ，つまりからまでの距離を最小にすれば面積も最小になる。まず直線の最短距離を，両方向ベクトルに垂直である条件から求める。最短点，が決まったら，正三角形の高さと一辺の関係からを求め，を中点としてを置く。
解答
直線の方向ベクトルを とする。また，直線は点を通り，方向ベクトルをとして と表せる。直線上の点を とおく。 からへの距離が最小となるとき，は両直線の方向ベクトルに垂直である。したがって を満たす。ここで であるから，条件は および である。整理して を得る。これを解くと である。よって最短距離を与える点は である。
このとき なので である。
正三角形では，頂点から辺へ下ろした垂線の足はの中点であり，その高さは一辺の倍である。したがって，面積を最小にするにはこの足をにすればよく， である。よって である。
直線の方向ベクトルの長さはであるから，となるように，からだけ進めばよい。したがって と取れる。の順序は入れ替えても同じである。
以上より，求める点は順序を除いて である。