問題
，を自然数，，を
を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 次の条件
を満たす，の組のうち，であるものをすべて求めよ．
(2) 条件(A)を満たす，の組で，であるものは存在しないことを示せ．
出典：京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
ではが直角方向になり，条件を満たさないので先に除く。ではをで表し，加法定理でをの式に直す。得られたについて，(1)ではを確認し，(2)ではの範囲との評価で自然数にならないことを示す。
解答
(1)
まずのとき，であるから，はと同じ向きになる。このとき となり，2にはならない。よっては不適である。
以下とする。倍角の公式より である。加法定理から
である。これが2に等しいので である。分母が0なら左辺は定義されないので，この等式のもとでは分母は0でない。整理すると であり， を得る。したがって である。 でだから，を調べる。のとき で自然数ではない。のとき である。よって である。
(2)
とする。まずを直接確認する。上の式から
であり，いずれも なので自然数ではない。
次にとする。このとき が成り立つ。実際，右辺から左辺を引くと であり，なら正である。したがって となり，自然数は存在しない。
以上より，で条件を満たす組は存在しない。