問題
曲線をとする．直線はの接線であり，点を通るものとする．また，の傾きは負であるとする．このとき，とで囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接点の座標をとおき，接線が点を通る条件を立てる。候補のうち接線の傾きが負になるものだけを選ぶ。接線が決まったら，曲線と接線の差を因数分解し，重接点からもう一つの交点までの符号を確認して面積を積分する。
解答
接点の座標をとする。曲線 の導関数は であるから，接点における接線の傾きはである。接線は であり，これが点を通るので である。整理すると すなわち である。
候補は である。接線の傾きはであり，負になるのは のときだけである。実際，では傾きはである。
したがって接線は，接点を通り傾きの直線 である。曲線と接線の差を計算すると である。よって交点はとで，は接点なので重解になっている。 ではであるから，接線の方が曲線より上にある。したがって求める面積は である。被積分関数は なので である。上端では であり，下端では である。したがって である。