京都大学 2016年度
文系数学 第5問

解答

条件（ロ）より，方程式$f(x)=0$は非実数の解をもつ。係数が実数なので，非実数解$\alpha$があれば，その共役複素数$\overline{\alpha }$も解である。3次式であるから，残りの解を実数$r$として，根の集合は $\{r,\alpha ,\overline{\alpha }\}$ と書ける。

条件（イ）は，この根の集合が3乗をとる操作で閉じていることを表す。まず実数根$r$について考える。$r^3$は実数であり，根の集合に含まれるので，非実数の$\alpha ,\overline{\alpha }$にはなれない。したがって $r^3=r$ である。よって $r=0,1,-1$ である。

次に非実数解$\alpha$を考える。${\alpha }^3$は$r,\alpha ,\overline{\alpha }$のいずれかである。 ${\alpha }^3=r$の場合，$\alpha \ne 0$であり，$r=1$または$r=-1$である。$r=1$なら，$\alpha ,\overline{\alpha }$は1の非実数の3乗根であるから，根全体は$x^3-1=0$の3根である。したがって $f(x)=x^3-1$ を得る。$r=-1$なら，$\alpha ,\overline{\alpha }$は$-1$の非実数の3乗根であるから，根全体は$x^3+1=0$の3根である。したがって $f(x)=x^3+1$ を得る。 ${\alpha }^3=\alpha$の場合，$\alpha ({\alpha }^2-1)=0$であるから，$\alpha =0,1,-1$となってしまい，非実数であることに反する。よってこの場合はない。 ${\alpha }^3=\overline{\alpha }$の場合を考える。$\alpha \ne 0$なので，両辺を$\overline{\alpha }$で割ると ${\alpha }^4=1$ である。非実数の4乗根は $\alpha =i,\alpha =-i$ である。したがって非実数解の組は$i,-i$であり，実数根$r$は先に求めた$0,1,-1$のいずれかである。よって $f(x)=(x-r)(x^2+1)$ であり，$x^3+x,x^3-x^2+x-1,x^3+x^2+x+1$ を得る。

以上の候補はいずれも実係数で，非実数解をもち，さらに各根を3乗しても同じ根集合の中に入る。したがって求める3次式は

である。