問題
四面体OABCが次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．
条件： 頂点A，B，Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のことをいう．
出典：京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
を原点に取り，，，とおく。たとえばから平面へ下ろした垂線が重心を通ることは，がとに垂直であることに等しい。同様の式をについて立て，と3つの内積を比較して，長さと内積がすべてそろうことを示す。
解答
を原点とし，
とおく。また
とする。
三角形の重心はである。から平面へ下ろした垂線がこの点を通るので， は平面上の2つの方向に垂直である。したがって
である。記号で書けば である。
同様に，から平面への垂線と，から平面への垂線についても式を立てると， を得る。
まず を引き比べると であるからである。同様に より，また よりである。したがって である。
さらに，たとえばにを代入すると である。同じように も得られる。よって であり，3つの内積もすべて等しい。
このとき である。また であり，同様に である。四面体は退化していないのでであり，6辺の長さはすべて等しい。したがって四面体は正四面体である。