問題
平面内の領域
で，曲線の上側にある部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
縦に切って面積を積分する。まずなのでで考え，曲線が円の内部にあることを確認する。これにより，各で求める縦の長さはになる。円弧部分は半径の扇形と三角形で評価し，多項式部分では奇関数の積分が消えることを使う。
解答
領域はを満たすので，の範囲は である。この範囲で，曲線 が円の内部にあることを確認する。実際，
である。ではであり，またはこの範囲で正である。したがって曲線は円の内部または境界上にある。
よって，各において曲線の上側にある部分の縦の長さは である。したがって求める面積は である。
まず円弧部分を計算する。は半径の上半円であるから， である。これは中心角の扇形の面積と，直角二等辺三角形の面積の和である。したがって
となる。
次に多項式部分は である。ここでは奇関数なので，での積分は0である。
以上より である。
別解。曲線が円の内部にあることを確認した後は，面積を「円の上半分の縦切り面積」から「曲線と軸との符号つき面積」を引くと見てもよい。曲線の符号が途中で変わっても，縦の長さはで一貫して表せるため，符号つき積分で処理できる。特にと分けると，奇関数部分が消え，残る補正はだけである。