京都大学 2016年度文系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を4以上の自然数とする．数2，12，1331がすべて $n$ 進法で表記されているとして，

2^{12} = 1331

が成り立っている．このとき $n$ はいくつか．十進法で答えよ．

出典：京都大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

数 $12$ も $1331$ も $n$ 進法表記なので，十進法では $12 = n + 2$ ， $1331 = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 = (n + 1)^{3}$ である。したがって $2^{n + 2} = (n + 1)^{3}$ を満たす $n ≧ 4$ を求める。まず $n = 7$ を見つけ， $4 ≦ n ≦ 6$ は直接確認する。 $n ≧ 8$ では比 $2^{n + 2} / (n + 1)^{3}$ が増加することを示し， $n = 8$ で既に左辺が大きいことから以後の解を除く。

解答

問題文の数 $2, 12, 1331$ はいずれも $n$ 進法で表記されている。 $n ≧ 4$ なので， $2$ は十進法でも2である。また $1 2_{(n)} = n + 2$ であり， $133 1_{(n)} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 = (n + 1)^{3}$ である。したがって条件は，十進法で $2^{n + 2} = (n + 1)^{3}$ となる。

まず $n = 7$ を代入すると $2^{7 + 2} = 2^{9} = 512, (7 + 1)^{3} = 8^{3} = 512$ であり，確かに条件を満たす。

次に他に解がないことを示す。 $4 ≦ n ≦ 6$ では

n 2^{n + 2} (n + 1)^{3} 46412551282166256343

であり，いずれも一致しない。 $n ≧ 8$ については $A_{n} = \frac{2 ^{n + 2}}{( n + 1 ) ^{3}}$ とおく。すると $\frac{A _{n + 1}}{A _{n}} = 2 (\frac{n + 1}{n + 2})^{3}$ である。 $n ≧ 8$ では $2 (n + 1)^{3} > (n + 2)^{3}$ が成り立つので， $A_{n + 1} > A_{n}$ である。実際，左辺から右辺を引くと $2 (n + 1)^{3} - (n + 2)^{3} = n^{3} - 2 n - 6 > 0$ である。

ところが $n = 8$ では $2^{10} = 1024 > 729 = 9^{3}$ であるから， $A_{8} > 1$ である。したがって $n ≧ 8$ では常に $2^{n + 2} > (n + 1)^{3}$ となり，等号は起こらない。

以上より，求める $n$ は $7$ である。

京都大学 2016年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 2016年度
文系数学第3問