京都大学 2014年度
理系数学 第6問

解答

$C_1:y=1/x$ と円 $C_2$ の交点を $(x,1/x)(x>0)$ とおく。この点における $C_1$ の接線の傾きは $-\frac{1}{x^2}$ であり、線分 $O(x,1/x)$ の傾きは $\frac{1/x}{x}=\frac{1}{x^2}$ である。

2直線のなす角を $\varphi$ とすると、傾きの公式より

である。条件より $\varphi =\pi /6$ だから $\frac{2x^2}{|x^4-1|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。$u=x^2$ とおくと $|u^2-1|=2\sqrt{3}u$ となる。$u>1$ の場合は $u^2-1=2\sqrt{3}u$ より $u=2+\sqrt{3}$、$0<u<1$ の場合は $1-u^2=2\sqrt{3}u$ より $u=2-\sqrt{3}$ である。したがって2交点の $x$ 座標は $x_1=\sqrt{2-\sqrt{3}},x_2=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ である。

円の半径を $r$ とすると、交点では $r^2=x^2+\frac{1}{x^2}=u+\frac{1}{u}$ である。$u=2+\sqrt{3}$ と $u=2-\sqrt{3}$ は互いに逆数なので、どちらの場合も $r^2=4$ である。よって円は $x^2+y^2=4$ であり、第1象限では $y=\sqrt{4-x^2}$ で表される。 $x_1<x<x_2$ では円弧が双曲線より上にあるから、求める面積 $S$ は $S={\int }_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{4-x^2}-\frac{1}{x}\right)dx$ である。まず $\int \sqrt{4-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin \frac{x}{2}$ である。端点では $(x_1,1/x_1)$、$(x_2,1/x_2)$ が円上にあり、$x_1{x}_2=1$ なので $\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}$ の値は両端でともに $1/2$ となり、差を取ると消える。

また

であるから、円の部分の積分は $2\left(\frac{5\pi }{12}-\frac{\pi }{12}\right)=\frac{2\pi }{3}$ である。一方、双曲線の部分は ${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{1}{x}dx=\log \frac{x_2}{x_1}$ である。ここで $\frac{x_2}{x_1}=2+\sqrt{3}$ だから ${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{1}{x}dx=\log (2+\sqrt{3})$ である。

したがって求める面積は $\boxed{\frac{2\pi }{3}-\log (2+\sqrt{3})}$ である。