問題
2つの粒子が時刻0においての頂点に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点にいる粒子は，その1秒後には点または点にそれぞれの確率で移動する．この2つの粒子が，時刻0の秒後に同じ点にいる確率を求めよ．
出典：京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
2つの粒子が「同じ点にいる」か「異なる点にいる」かだけを状態として見る。ある時刻に同じ点にいれば、次の1秒後も同じ点にいる確率は である。一方、異なる2頂点にいれば、次に同じ点へ移るには両方が残り1つの頂点へ動くしかなく、その確率は である。これにより の一次漸化式を立て、定数解を引いて等比数列として解く。 初期条件 まで忘れずに使う。
解答
時刻 秒後に2つの粒子が同じ点にいる確率を とする。初めはどちらも頂点 にいるので である。
ある時刻に2つの粒子が同じ頂点にいるとする。このとき、次の1秒で2つの粒子はそれぞれ隣の2頂点のどちらかへ確率 で動く。次の時刻にも同じ点にいるのは、2つの粒子が同じ隣の頂点を選ぶ場合であるから、その確率は である。
一方、ある時刻に2つの粒子が異なる頂点にいるとする。例えば一方が 、他方が にいる場合、次の時刻に同じ点にいるためには、どちらも残りの頂点 に移るしかない。この確率は である。他の2頂点の組についても同じである。
したがって、時刻 秒後から 秒後への移り方を考えると
である。この漸化式の一定値を とすると より である。よって となる。 だから であり、したがって である。求める確率は である。