京都大学 2014年度
理系数学 第3問

解答

$\angle A=\alpha$ とおく。条件より $\angle B=2\alpha ,\angle C=\pi -3\alpha$ であり、三角形が存在するため $0<\alpha <\frac{\pi }{3}$ である。

正弦定理を用いると、$BC=1$ は $\angle A$ の対辺であり、$AB$ は $\angle C$ の対辺であるから $\frac{AB}{\sin 3\alpha }=\frac{BC}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$ となる。したがって $AB=\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }$ である。

面積を $S$ とすると、辺 $AB$ と $BC$ のなす角は $\angle B=2\alpha$ なので $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 2\alpha$ である。よって

である。さらに積和公式より $S=\frac{1}{2}(\sin 4\alpha +\sin 2\alpha )$ である。 $0<\alpha <\pi /3$ の端である $\alpha \to 0$、$\alpha \to \pi /3$ では面積は0に近づく。したがって最大は内部でとる。微分すると $S^{\prime }=2\cos 4\alpha +\cos 2\alpha$ であるから、最大を与える $\alpha$ では $2\cos 4\alpha +\cos 2\alpha =0$ が成り立つ。

ここで $u=\cos 2\alpha$ とおくと $\cos 4\alpha =2u^2-1$ である。したがって $2(2u^2-1)+u=0$ すなわち $4u^2+u-2=0$ を得る。これを解くと $u=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{8}$ である。

一方、$0<\alpha <\pi /3$ より $0<2\alpha <\frac{2\pi }{3}$ であるから $-\frac{1}{2}<\cos 2\alpha <1$ である。$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}<-\frac{1}{2}$ なのでこれは不適であり、$\cos 2\alpha =\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$ である。求めるのは $\cos \angle B=\cos 2\alpha$ だから $\boxed{\cos \angle B=\frac{\sqrt{33}-1}{8}}$ である。