京都大学 2014年度理系数学第4問解答・解説

問題

実数の定数 $a$ ， $b$ に対して，関数 $f (x)$ を

f (x) = \frac{a x + b}{x ^{2} + x + 1}

で定める．すべての実数 $x$ で不等式

f (x) ≦ f (x)^{3} - 2 f (x)^{2} + 2

が成り立つような点 $(a, b)$ の範囲を図示せよ．

出典：京都大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

まず不等式を $y = f (x)$ の条件として読み替え、 $y^{3} - 2 y^{2} - y + 2 = (y - 2) (y - 1) (y + 1)$ の符号から許される $y$ の範囲を調べる。 $f (x)$ は全実数で連続で、 $∣ x ∣ \to \infty$ で0に近づくため、値域が $[2, \infty)$ 側へ入ることはできず、結局 $- 1 ≦ f (x) ≦ 1$ が全実数で成り立つ条件に帰着する。分母 $x^{2} + x + 1$ は常に正なので、2つの2次式が常に非負である条件を判別式で表し、 $(a, b)$ の範囲を図示する。

解答

$y = f (x)$ とおく。与えられた不等式は $y ≦ y^{3} - 2 y^{2} + 2$ すなわち $y^{3} - 2 y^{2} - y + 2 ≧ 0$ である。左辺は $y^{3} - 2 y^{2} - y + 2 = (y - 2) (y - 1) (y + 1)$ と因数分解できるので、符号を調べると $- 1 ≦ y ≦ 1 または 2 ≦ y$ である。

ここで $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ であるから、 $f (x)$ はすべての実数 $x$ で定義される連続関数である。また $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ である。もしある $x$ で $f (x) ≧ 2$ となるなら、無限遠で0に近づくことと連続性により、途中で $1 < f (x) < 2$ となる点が存在してしまう。しかしこの範囲の $y$ は不等式を満たさない。したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成り立つための条件は $- 1 ≦ f (x) ≦ 1$ がすべての実数 $x$ で成り立つことである。

分母は常に正なので、 $f (x) ≦ 1$ は $a x + b ≦ x^{2} + x + 1$ すなわち $x^{2} + (1 - a) x + (1 - b) ≧ 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つことと同値である。これは上に開く2次式だから、判別式が0以下であればよい。よって $(1 - a)^{2} - 4 (1 - b) ≦ 0$ すなわち $b ≦ 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}$ である。

同様に、 $- 1 ≦ f (x)$ は $- (x^{2} + x + 1) ≦ a x + b$ すなわち $x^{2} + (1 + a) x + (1 + b) ≧ 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つことと同値である。したがって $(1 + a)^{2} - 4 (1 + b) ≦ 0$ より $b ≧ \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4} - 1$ である。

以上より求める範囲は $\frac{( a + 1 ) ^{2}}{4} - 1 ≦ b ≦ 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}$ である。この2つの放物線が囲む部分を図示すればよい。上下の境界が交わる条件は $\frac{( a + 1 ) ^{2}}{4} - 1 = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}$ であり、これより $a^{2} = 3$ となる。したがって図では $- 3 ≦ a ≦ 3$ の範囲で、下に凸の放物線 $b = \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4} - 1$ 以上、上に凸の放物線 $b = 1 - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}$ 以下の閉じた領域を塗ればよい。境界線もすべて含む。

京都大学 2014年度理系数学 第4問

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理系数学第4問