問題
自然数，はどちらも3で割り切れないが，は81で割り切れる．このような，の組のうち，の値を最小にするものと，そのときのの値を求めよ．
出典：京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
を使い、 が3で割り切れないという条件から、3の因数がどちらの因子に何個入るかを調べる。まず が3で割り切れるためには が3で割り切れる必要がある。 とおくと、第2因子は3で割れるが9では割れないことが分かるため、81で割り切れるには が27で割り切れる必要十分条件になる。最後に が27の倍数である正の組の中で を最小化する。
解答
まず を用いる。 はどちらも3で割り切れないので、3で割った余りはそれぞれ1または2である。、 だから、 が3で割り切れるためには でなければならない。
そこで とおく。このとき であるから
である。括弧内は3で割ると と同じ余りになる。 は3で割り切れないので も3で割り切れない。したがって は3で割り切れるが、9では割り切れない。
よって が で割り切れるためには、 の方が少なくとも で割り切れる必要がある。逆に、 なら、第2因子に少なくとも1個の3が含まれるので、 は81で割り切れる。したがって条件は と同値である。
あとは自然数 について、 が27の倍数で、かつ が3で割り切れないものの中で を最小にすればよい。最小の可能性は である。固定した和のもとでは、2つの数ができるだけ近いときに2乗和が最小になる。実際、 なので、 が最小のとき最小である。
和が27のとき、最も近い自然数の組は であり、どちらも3で割り切れない。このとき である。
なお、 の場合は なので、より小さくなることはない。したがって求める組と値は である。