京都大学 2011年度文系数学第5問解答・解説

問題

0以上の整数を10進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，0は0桁の数と考えることにする．また $n$ は正の整数とする．

(1) 各桁の数が1または2である $n$ 桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を $T_{n}$ とする． $T_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(2) 各桁の数が0，1，2のいずれかである $n$ 桁以下の整数を考える．それらすべての整数の総和を $S_{n}$ とする． $S_{n}$ が $T_{n}$ の15倍以上になるのは， $n$ がいくつ以上のときか．必要があれば， $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.302$ および $0.477 < lo g_{10} 3 < 0.478$ を用いてもよい．

出典：京都大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

各整数を個別に足すのではなく、各桁が総和に何回ずつ寄与するかを数える。(1)では各桁に1と2がそれぞれ $2^{n - 1}$ 回ずつ現れる。(2)では $n$ 桁未満の数も先頭に0を補って $n$ 桁の列として一意に扱うと、各桁に0,1,2がそれぞれ $3^{n - 1}$ 回ずつ現れる。最後は $S_{n} / T_{n} = (3/2)^{n - 1}$ に簡約し、15以上となる最小の $n$ を直接比較で決める。

解答

(1)

各桁の数が1または2である $n$ 桁の整数は、全部で $2^{n}$ 個ある。ある1つの桁に注目すると、その桁が1であるものは残り $n - 1$ 桁を自由に選べるので $2^{n - 1}$ 個あり、その桁が2であるものも同じく $2^{n - 1}$ 個ある。したがって、その桁に現れる数字の総和は $1 \cdot 2^{n - 1} + 2 \cdot 2^{n - 1} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ である。

一の位、十の位、 $\dots$ 、 $1 0^{n - 1}$ の位の重みを合わせると $1 + 10 + \dots + 1 0^{n - 1} = \frac{1 0 ^{n} - 1}{9}$ である。よって

T_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} (1 + 10 + \dots + 1 0^{n - 1}) = 3 \cdot 2^{n - 1} \cdot \frac{1 0 ^{n} - 1}{9} = \frac{2 ^{n - 1} ( 1 0 ^{n} - 1 )}{3}

である。

(2)

各桁の数が0,1,2のいずれかである $n$ 桁以下の整数を、先頭に0を補って $n$ 桁の列として表す。たとえば $12$ は $n$ 桁に満たないときも先頭に0を補って表す。この表し方は各整数に対して一意であり、問題文で0を0桁と考えることとも矛盾しない。

このとき、各桁には0,1,2がそれぞれ $3^{n - 1}$ 回ずつ現れる。したがって、ある1つの桁に現れる数字の総和は $(0 + 1 + 2) 3^{n - 1} = 3^{n}$ である。よって $S_{n} = 3^{n} (1 + 10 + \dots + 1 0^{n - 1}) = 3^{n} \cdot \frac{1 0 ^{n} - 1}{9}$ となる。

(1)の結果と比をとると

\frac{S _{n}}{T _{n}} = \frac{3 ^{n} \cdot \frac{1 0 ^{n} - 1}{9}}{\frac{2 ^{n - 1} ( 1 0 ^{n} - 1 )}{3}} = \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{n - 1}} = (\frac{3}{2})^{n - 1}

である。したがって、求める条件は $(\frac{3}{2})^{n - 1} ≧ 15$ である。

直接比較すると $(\frac{3}{2})^{6} = \frac{729}{64} < 15$ である。一方、 $(\frac{3}{2})^{7} = \frac{2187}{128}$ であり、 $2187 > 1920 = 15 \cdot 128$ だから $(\frac{3}{2})^{7} > 15$ である。よって $n - 1 ≧ 7$ が必要十分であり、 $n ≧ 8$ である。

京都大学 2011年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2011年度
文系数学第5問