京都大学 2011年度文系数学第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，連立不等式

⎩ ⎨ ⎧ ∣ x ∣ ≦ 2, y ≧ x, y ≦ ∣ \frac{3}{4} x^{2} - 3∣ - 2

を満たす領域の面積を求めよ．

出典：京都大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

まず $∣ x ∣ ≦ 2$ の条件から、絶対値の中身 $\frac{3}{4} x^{2} - 3$ が常に0以下であることを確認する。上側の境界は $y = 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ となるので、直線 $y = x$ と放物線の上下関係を調べる。面積は、 $x ≦ 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ が成り立つ範囲だけを積分区間に取り、上から下を引いて求める。

解答

条件 $∣ x ∣ ≦ 2$ より $0 ≦ x^{2} ≦ 4$ である。したがって $\frac{3}{4} x^{2} - 3 ≦ \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 = 0$ なので、この範囲では $\frac{3}{4} x^{2} - 3 = 3 - \frac{3}{4} x^{2}$ である。よって第3の不等式は $y ≦ 3 - \frac{3}{4} x^{2} - 2 = 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ となる。

したがって領域は $- 2 ≦ x ≦ 2, x ≦ y ≦ 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ を満たす部分である。ただし、このような $y$ が存在するためには $x ≦ 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ が必要である。これを整理すると $3 x^{2} + 4 x - 4 ≦ 0$ であり、 $3 x^{2} + 4 x - 4 = (3 x - 2) (x + 2)$ だから $- 2 ≦ x ≦ \frac{2}{3}$ である。

よって求める面積は $\int_{- 2}^{\frac{2}{3}} {(1 - \frac{3}{4} x^{2}) - x} d x$ である。原始関数は $x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{4}$ なので、

\int_{- 2}^{\frac{2}{3}} (1 - \frac{3}{4} x^{2} - x) d x = [x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{4}]_{- 2}^{\frac{2}{3}} = (\frac{2}{3} - \frac{2}{9} - \frac{2}{27}) - (- 2 - 2 + 2) = \frac{10}{27} + 2 = \frac{64}{27} .

京都大学 2011年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2011年度
文系数学第4問