問題
実数が変化するとき，3次関数と直線のグラフの交点の個数はどのように変化するか．の値によって分類せよ．
出典：京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
交点の個数は、方程式 の実数解の個数である。左辺を とおき、増減表で極大値・極小値を求める。 と水平線 の共有点数を読む問題に置き換え、極値と一致する場合は接するので異なる実数解が2個になることまで分ける。
解答
交点の 座標は を満たす。これを整理すると である。したがって とおき、曲線 と水平線 の共有点数を調べればよい。
微分すると である。よって の符号は
となる。したがって は で極大、 で極小をとる。
極値は であり、
である。
また、 は3次関数で最高次係数が正なので、 で 、 で である。したがって水平線 との共有点数は、極小値 と極大値 を境に変わる。
以上より、交点の個数は
である。 と では、極値の点で接するため重解を含み、異なる交点の個数は2個である。