問題
次の各問に答えよ．
(1) 辺，辺、辺の長さがそれぞれ12，11，10の三角形を考える．の2等分線と辺の交点をとするとき，線分の長さを求めよ．
(2) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をとする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をとする．である確率を求めよ．
出典：京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)は、角の二等分線が対辺を隣り合う2辺の比に分けることを先に使い、角の二等分線の長さの公式に代入する。辺の対応を取り違えると値が変わるので、 を固定して計算する。(2)は、小さい方が になるには相手のカードが から までであることを数え、 と が独立であることから同じ値をとる確率を二乗和で求める。
解答
(1)
である。 は の二等分線なので、角の二等分線の定理より である。よって となる。
角の二等分線の長さの公式 を用いると、 である。したがって、長さは正であるから である。
同じ計算を公式 に直接代入しても、 となる。
(2)
1回の試行で2枚のカードを選ぶ方法は 通りで、どれも同様に確からしい。小さい方の数が となるのは、選ばれた2枚が のいずれかであるときである。したがって である。 は小さい方にはなれないので含めない。
カードを戻してから2回目を行うので、 と の分布は同じで、しかも独立である。よって
である。ここで は を動くから、
である。