問題
四面体において，点から3点，，を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をとする．，，，，のとき，を求めよ．
出典：京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
条件はすべて内積の形に直せる。 とおき、 を決める。底面 の面積は の長さと内積から求め、四面体の体積は3本のベクトルが作る平行六面体の体積から求める。最後に で高さを出す。計算確認用として、座標を置いて平面 と原点の距離を直接求める別解も自然である。
解答
とおく。条件より である。また より だから である。
さらに より、 である。左辺を内積で展開すると すなわち であるから となる。したがって である。また より である。
底面 の2辺は
である。よって であり、同様に
である。また
より である。したがって
である。
次に、 がつくる平行六面体の体積の2乗を求める。内積表は
であるから、平行六面体の体積の2乗は
である。四面体 の体積を とすると、四面体はこの平行六面体の であるから である。
一方、 を底面と見れば である。よって
となる。したがって である。
別解。座標を置いて平面 と原点の距離を直接求めてもよい。、 とする。 とおくと、 から であり、差をとって 、したがって とできる。次に とおく。 より 、また より なので である。さらに から であり、 としてよい。
このとき
である。平面 の法線ベクトルとして を取れる。この法線ベクトルを とすると、、 である。したがって原点から平面 までの距離は
であり、同じ答えを得る。