問題
座標空間内で，，，，，，，，を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
出典：京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
体対角線 に垂直な平面 で切り，断面を軸の周りに回転した円板の半径を求めて積分する。点 から軸までの距離の2乗は である。断面の形は の範囲によって三角形・六角形・三角形と変わるので，，， の3区間で最大半径を計算する。
解答
立方体内の点を とし， とおく。立方体では なので である。
対角線 の方向ベクトルは である。したがって平面 は に垂直な断面である。 方向の単位ベクトルは なので， が だけ増えるときの軸方向の厚さは である。
点 から軸 までの距離の2乗を求める。原点から点までの距離の2乗は であり，軸方向への射影の長さの2乗は である。したがって軸までの距離の2乗は である。
断面 は軸上の点 を含む凸図形である。したがってこの断面を軸のまわりに回転すると，半径が断面内での最大距離である円板になる。そこで の最大値を求める。 のとき，断面は を頂点とする三角形である。各頂点で となる。 のとき，断面は六角形で，頂点は の座標を入れ替えた点である。これらの点で だから である。 のとき，断面は を頂点とする三角形である。各頂点で となる。
よって体積 は
である。計算すると
である。したがって
である。