問題
を正の実数とする．座標平面上の3点，，をとり，を考える．の値が変化するとき，の最大値を求めよ．
出典：京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
とおき，2本のベクトル ， から を作る。内積が常に正で となるため， の最大化は の最大化と同じである。得られた1変数関数を微分して最大点を求める。別解として，固定された線分 を点 から見る角と円の半径の関係から，円が直線 に接するとき最大になることも確認できる。
解答
とする。 であり， だから である。
2つのベクトルの内積は
である。また，平面上の2ベクトルが作る平行四辺形の面積に対応する量は である。
ここで なので， である。したがって であり， を最大にすることはこの値を最大にすることと同じである。 とおく。微分すると
である。 では分母は正で， だから， は で正， で負である。よって は で最大となる。
このとき である。 より が最大値である。
別解。固定された線分 を点 から見る角で考える。 であり， を通る円の中心は， の垂直二等分線上にある。したがって中心を とおくと，半径 は である。
円周角の関係より，弦 を見る角 は，半径 が小さいほど大きい。点 は直線 上にあるので，円がこの直線と交わるためには，中心 から直線 までの距離が半径以下である必要がある。したがって である。両辺を2乗して を整理すると である。 が正の側にある場合，最小の半径を与えるのは のときであり，このとき円は直線 に接する。接点は で，半径は
である。よって となり，最大角は である。