京都大学 2010年度理系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は，すべての正の整数 $n$ に対して $0 ≦ 3 a_{n} ≦ k = 1 \sum n a_{k}$ を満たしているとする．このとき，すべての $n$ に対して $a_{n} = 0$ であることを示せ．

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

まず条件から各 $a_{n}$ が非負であることを押さえる。部分和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ を導入すると， $3 a_{n} ≦ S_{n} = S_{n - 1} + a_{n}$ から $2 a_{n} ≦ S_{n - 1}$ が得られる。 $n = 1$ で $S_{0} = 0$ と見れば $a_{1} = 0$ が出て，以後 $S_{n - 1} = 0$ なら $a_{n} = 0$ と帰納的に進む。

解答

部分和を $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおく。また $S_{0} = 0$ とする。

条件 $0 ≦ 3 a_{n} ≦ S_{n}$ より，まず $a_{n} ≧ 0$ である。さらに $S_{n} = S_{n - 1} + a_{n}$ だから $3 a_{n} ≦ S_{n - 1} + a_{n}$ である。これを整理すると $2 a_{n} ≦ S_{n - 1}$ を得る。 $n = 1$ のとき， $S_{0} = 0$ なので $2 a_{1} ≦ S_{0} = 0$ である。一方で $a_{1} ≧ 0$ だから $a_{1} = 0$ である。したがって $S_{1} = 0$ である。

次に，ある $n ≧ 2$ について $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n - 1} = 0$ が成り立つと仮定する。このとき $S_{n - 1} = 0$ である。先ほど得た不等式 $2 a_{n} ≦ S_{n - 1}$ に代入すると $2 a_{n} ≦ 0$ である。一方，条件から $a_{n} ≧ 0$ なので $a_{n} = 0$ である。

よって数学的帰納法により，すべての正の整数 $n$ に対して $a_{n} = 0$ である。

京都大学 2010年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2010年度
理系数学第4問