京都大学 2010年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする．座標平面において曲線 $y = sin x$ $(0 ≦ x ≦ π)$ と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $S$ とし，曲線 $y = sin x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ ，曲線 $y = a cos x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする．このとき $S : T = 3 : 1$ となるような $a$ の値を求めよ．

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

まず $S = \int_{0}^{π} sin x d x = 2$ を求める。 $T$ は2つの曲線の下側で囲まれる面積なので，交点 $α$ を $tan α = a$ で定め， $0 ≦ x ≦ α$ では $sin x$ ， $α ≦ x ≦ π /2$ では $a cos x$ を積分する。得られた $T = 1 + a - 1 + a^{2}$ に $S : T = 3 : 1$ を代入し，2乗で生じる候補が条件 $a > 0$ と元の式を満たすことを確認する。

解答

まず $S = \int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 2$ である。

次に $T$ を求める。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では $sin x$ も $a cos x$ も非負である。2曲線の交点を $x = α$ とすると $sin α = a cos α$ である。 $a > 0$ なので $0 < α < \frac{π}{2}, tan α = a$ である。

したがって

sin α = \frac{a}{1 + a ^{2}}, cos α = \frac{1}{1 + a ^{2}}

である。 $0 ≦ x < α$ では $tan x < a$ だから $sin x < a cos x$ であり， $α < x ≦ π /2$ では $sin x > a cos x$ である。よって囲まれる図形の面積 $T$ は $T = \int_{0}^{α} sin x d x + \int_{α}^{π /2} a cos x d x$ である。これを計算すると

T = [- cos x]_{0}^{α} + a [sin x]_{α}^{π /2} = 1 - cos α + a (1 - sin α)

である。上の $sin α, cos α$ を代入して $T = 1 - \frac{1}{1 + a ^{2}} + a (1 - \frac{a}{1 + a ^{2}})$ $= 1 + a - \frac{1 + a ^{2}}{1 + a ^{2}} = 1 + a - 1 + a^{2}$ である。

条件 $S : T = 3 : 1$ と $S = 2$ より $T = \frac{2}{3}$ である。したがって $1 + a - 1 + a^{2} = \frac{2}{3}$ すなわち $a + \frac{1}{3} = 1 + a^{2}$ である。両辺は正なので2乗してよい。2乗すると $a^{2} + \frac{2 a}{3} + \frac{1}{9} = 1 + a^{2}$ であり， $\frac{2 a}{3} = \frac{8}{9}$ より $a = \frac{4}{3}$ を得る。

確認すると， $a = 4/3$ のとき $a + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}, 1 + a^{2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{5}{3}$ であり，元の式を満たす。したがって求める値は $a = \frac{4}{3}$ である。

京都大学 2010年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

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理系数学第5問