京都大学 2009年度理系乙数学理系乙第6問解答・解説

問題

$a$ と $b$ を互いに素な正の整数とし、さらに $a$ は奇数とする。正の整数 $n$ に対して整数 $a_{n}, b_{n}$ を

(a + b 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2

を満たすように定めるとき、次を示せ。ただし $2$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

(1) $a_{2}$ は奇数であり、 $a_{2}$ と $b_{2}$ は互いに素である。

(2) 全ての $n$ に対して、 $a_{n}$ は奇数であり、 $a_{n}$ と $b_{n}$ は互いに素である。

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第6問

方針

(1)は $a_{2} = a^{2} + 2 b^{2}$ 、 $b_{2} = 2 ab$ を直接使う。(2)の奇偶は $a_{n + 1} = a a_{n} + 2 b b_{n}$ から帰納する。互いに素でないと仮定し、共通の素数 $p$ を取る。共役との積から $p ∣ a^{2} - 2 b^{2}$ を得る。 $b$ の逆数に相当する剰余 $u$ を $b u \equiv a (mod p)$ で定めると $u^{2} \equiv 2 (mod p)$ 。二項展開をこの合同式で整理すると、同じ式が一方では0、他方では $(2 a)^{n} \neq = 0$ となる矛盾を導く。

解答

(1)

展開すると

a_{2} = a^{2} + 2 b^{2}, b_{2} = 2 ab

である。 $a$ は奇数だから $a^{2}$ は奇数で、 $2 b^{2}$ は偶数である。よって $a_{2}$ は奇数である。

$a_{2}, b_{2}$ が1より大きい公約数をもつと仮定し、その素因数を $p$ とする。 $a_{2}$ は奇数なので $p$ は奇数である。 $p ∣ b_{2} = 2 ab$ より $p ∣ a$ または $p ∣ b$ である。 $p ∣ a$ なら $p ∣ a_{2} = a^{2} + 2 b^{2}$ から $p ∣ b$ となり、 $p ∣ b$ なら同様に $p ∣ a$ となる。いずれも $a, b$ が互いに素であることに反する。したがって $a_{2}, b_{2}$ は互いに素である。

(2)

a_{n + 1} = a a_{n} + 2 b b_{n}, b_{n + 1} = b a_{n} + a b_{n}

である。 $a_{1} = a$ は奇数であり、 $a_{n}$ が奇数なら $a a_{n}$ は奇数、 $2 b b_{n}$ は偶数だから $a_{n + 1}$ も奇数である。数学的帰納法により、全ての $n$ で $a_{n}$ は奇数である。

次に、ある $n$ で $a_{n}, b_{n}$ が1より大きい公約数をもつと仮定し、その素因数を $p$ とする。 $a_{n}$ は奇数なので $p$ は奇数である。共役を掛けると

a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (a^{2} - 2 b^{2})^{n}

であるから $p ∣ a^{2} - 2 b^{2}$ である。 $p$ が $b$ を割るならこの合同式から $p ∣ a$ となり矛盾するので、 $p$ は $b$ を割らない。

そこで $b u \equiv a (mod p)$ を満たす整数 $u$ をとることができる。 $a^{2} \equiv 2 b^{2} (mod p)$ より

u^{2} \equiv 2 (mod p) .

$(a + b 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2$ の二項展開で、 $2$ の代わりに $u$ を入れ、 $u^{2} \equiv 2 (mod p)$ を用いて偶数乗と奇数乗を整理すると

(a + b u)^{n} \equiv a_{n} + b_{n} u (mod p) .

仮定より右辺は0である。一方 $b u \equiv a (mod p)$ だから左辺は

(a + b u)^{n} \equiv (2 a)^{n} (mod p) .

$p ∣ a$ なら $p ∣ b$ となってしまうので $p$ は $a$ も割らず、 $p$ は奇数である。したがって $(2 a)^{n}$ は $p$ で割り切れず、矛盾する。よって $a_{n}, b_{n}$ は全ての $n$ で互いに素である。

京都大学 2009年度理系乙数学 理系乙 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2009年度
理系乙数学理系乙第6問