京都大学 2009年度理系乙数学理系乙第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で原点を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式 $r = 2 + cos θ$ （ $0 ≦ θ ≦ π$ ）により表される曲線を $C$ とする。 $C$ と $x$ 軸とで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第5問

方針

曲線を $x = (2 + cos θ) cos θ$ 、 $y = (2 + cos θ) sin θ$ と媒介表示する。 $d x / d θ = - 2 sin θ (1 + cos θ) ≦ 0$ なので、回転体は $x$ に垂直な円板で重複なく表せる。 $V = π \int y^{2} d x$ を $θ$ の積分へ直し、最後に $u = cos θ$ と置換して多項式を積分する。

解答

極方程式から

x = (2 + cos θ) cos θ, y = (2 + cos θ) sin θ

である。また

\frac{d x}{d θ} = - sin θ cos θ - (2 + cos θ) sin θ = - 2 sin θ (1 + cos θ) ≦ 0

であるから、 $x$ は $0 ≦ θ ≦ π$ で単調に減少する。したがって円板法により、求める体積を $V$ とすると

V = - π \int_{0}^{π} y^{2} \frac{d x}{d θ} d θ = 2 π \int_{0}^{π} (2 + cos θ)^{2} sin^{3} θ (1 + cos θ) d θ .

$u = cos θ$ とおくと $d u = - sin θ d θ$ 、 $sin^{2} θ = 1 - u^{2}$ であるから

V = 2 π \int_{- 1}^{1} (2 + u)^{2} (1 - u^{2}) (1 + u) d u .

被積分関数を展開すると

(2 + u)^{2} (1 - u^{2}) (1 + u) = 4 + 8 u + u^{2} - 7 u^{3} - 5 u^{4} - u^{5} .

奇関数の項の積分は0なので

V = 2 π \int_{- 1}^{1} (4 + u^{2} - 5 u^{4}) d u = 2 π (8 + \frac{2}{3} - 2) = \frac{40 π}{3} .

京都大学 2009年度理系乙数学 理系乙 第5問

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