問題
空間で、、、、、、、を頂点とする直方体-を考える。辺をに内分する点を、辺をに内分する点をとおく。ただし、とする。を通り、を含む平面に垂直な直線が線分（両端を含む）と交わるようなの満たす条件を求めよ。
出典：京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（理系乙） 理系乙 理系乙 第1問
方針
内分点を 、 と座標表示する。平面 の法線ベクトルを、 の両方と垂直になるよう連立して求める。点 を通る法線上で となる点を計算し、その点が長方形の対角線 上にある条件 と線分内の範囲条件を課す。
解答
内分点の座標は
である。平面 の法線ベクトルを とすると
ここで ととれば、法線ベクトルとして
を得る。したがって、点 を通り平面 に垂直な直線は
と表される。
線分 は平面 上にある。上の直線で とすると より であり、交点は
である。
線分 上の点は
と表される。したがって が線分 上にあるための条件は
すなわち
この等式と から自動的に となり、交点は線分の内部にある。よって求める条件は
である。このとき であり、もとの も満たされる。