京都大学 2009年度理系乙数学理系乙第4問解答・解説

問題

$A = (a c b d)$ を $a d - b c = 1$ を満たす行列とする。ただし $a, b, c, d$ は実数とする。自然数 $n$ に対して平面上の点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を

(x_{n} y_{n}) = A^{n} (10)

により定める。 $O P_{1}$ と $O P_{2}$ の長さが1のとき、全ての $n$ に対して $O P_{n}$ の長さが1であることを示せ。ここで $O$ は原点である。

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第4問

方針

$T = a + d$ と置き、行列を直接掛けて $A^{2} - T A + E = 0$ を示す。これにより位置ベクトル $v_{n} = O P_{n}$ は $v_{n + 2} = T v_{n + 1} - v_{n}$ を満たす。また $e = (1, 0)$ は $e = T v_{1} - v_{2}$ と書ける。3本の単位ベクトルの関係から、 $T = 0$ または $T = 2 v_{1} \cdot v_{2}$ を得て、内積と長さが保たれることを帰納する。

解答

$E$ を2次の単位行列、 $T = a + d$ とする。 $a d - b c = 1$ を用いて直接計算すると

A^{2} - T A + E = (0000) .

$v_{n} = O P_{n} = A^{n} (10)$ とおけば

v_{n + 2} = T v_{n + 1} - v_{n} .

また、上の行列恒等式に $A^{- 1}$ を掛けると $A^{- 1} = T E - A$ である。 $e = (10)$ とおけば $v_{1} = A e$ 、 $v_{2} = A^{2} e$ なので

e = T v_{1} - v_{2} .

仮定より $∣ e ∣ = ∣ v_{1} ∣ = ∣ v_{2} ∣ = 1$ である。この等式の両辺の長さの平方をとると

1 = T^{2} + 1 - 2 T (v_{1} \cdot v_{2}),

したがって

T {T - 2 (v_{1} \cdot v_{2})} = 0.

まず $T = 0$ のとき、この漸化式は $v_{n + 2} = - v_{n}$ となるから、 $∣ v_{1} ∣ = ∣ v_{2} ∣ = 1$ より全ての $n$ で $∣ v_{n} ∣ = 1$ である。

次に $T \neq = 0$ とする。 $c_{0} = v_{1} \cdot v_{2}$ とおけば、上の等式より $T = 2 c_{0}$ である。ある $n$ について

∣ v_{n} ∣ = ∣ v_{n + 1} ∣ = 1, v_{n} \cdot v_{n + 1} = c_{0}

が成り立つと仮定する。漸化式より

∣ v_{n + 2} ∣^{2} = ∣ T v_{n + 1} - v_{n} ∣^{2} = T^{2} + 1 - 2 T c_{0} = 1,

また

v_{n + 1} \cdot v_{n + 2} = T - c_{0} = c_{0} .

したがってこの性質は $n + 1$ でも成り立つ。 $n = 1$ では仮定により成立しているから、数学的帰納法により全ての自然数 $n$ について

∣ O P_{n} ∣ = ∣ v_{n} ∣ = 1

である。

京都大学 2009年度理系乙数学 理系乙 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2009年度
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