京都大学 2009年度理系乙数学理系乙第2問解答・解説

問題

平面上の鋭角三角形 $A B C$ の内部（辺や頂点は含まない）に点 $P$ をとり、 $A^{'}$ を $B, C, P$ を通る円の中心、 $B^{'}$ を $C, A, P$ を通る円の中心、 $C^{'}$ を $A, B, P$ を通る円の中心とする。このとき $A, B, C, A^{'}, B^{'}, C^{'}$ が同一円周上にあるための必要十分条件は $P$ が三角形 $A B C$ の内心に一致することであることを示せ。

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第2問

方針

必要性では6点を通る円の中心を $O$ とする。円 $O$ と円 $A^{'}$ の共通弦が $B C$ なので $O A^{'} ⊥ B C$ 。同様の垂直関係と $O A^{'} = O B^{'}$ を組み合わせ、 $C P$ が角 $C$ を二等分することを示す。十分性では $P$ を内心 $I$ とし、 $∠ B I C = π /2 + A /2$ から円 $A^{'}$ の小さい中心角 $∠ B A^{'} C = π - A$ を得て、四角形 $A B A^{'} C$ が円に内接することを示す。

解答

まず、 $A, B, C, A^{'}, B^{'}, C^{'}$ が同一円周上にあると仮定し、その円の中心を $O$ とする。中心 $O$ の円と中心 $A^{'}$ の円は $B, C$ を共通点にもつから、2円の中心を結ぶ直線は共通弦 $B C$ に垂直である。したがって

O A^{'} ⊥ B C .

同様に

O B^{'} ⊥ C A .

また、中心 $A^{'}$ の円と中心 $B^{'}$ の円は $C, P$ を共通点にもつので

A^{'} B^{'} ⊥ C P .

$A^{'}, B^{'}$ はともに中心 $O$ の円上にあるから $O A^{'} = O B^{'}$ であり、三角形 $O A^{'} B^{'}$ は二等辺三角形である。よって

∠ O A^{'} B^{'} = ∠ O B^{'} A^{'} .

左辺はそれぞれ $B C, C P$ に垂直な2直線のなす角なので $∠ B C P$ に等しく、右辺はそれぞれ $C A, C P$ に垂直な2直線のなす角なので $∠ P C A$ に等しい。したがって

∠ B C P = ∠ P C A .

同様にして $A P$ は角 $A$ を、 $B P$ は角 $B$ を二等分する。 $P$ は三角形の内部にあるから、 $P$ は三角形 $A B C$ の内心である。

逆に、 $P$ が内心 $I$ に一致すると仮定する。 $A = ∠ B A C$ と書くと、内心の性質より

∠ B I C = \frac{π}{2} + \frac{A}{2} .

$A^{'}$ は $B, C, I$ を通る円の中心である。円周角 $∠ B I C$ が弧 $B C$ の大きい方に対応するので、小さい中心角は

∠ B A^{'} C = 2 π - 2∠ B I C = π - A .

したがって

∠ B A C + ∠ B A^{'} C = π

であり、四角形 $A B A^{'} C$ は円に内接する。その円は $A, B, C$ を通る三角形 $A B C$ の外接円であるから、 $A^{'}$ は外接円上にある。同様に $B^{'}, C^{'}$ も同じ外接円上にある。

以上より、6点が同一円周上にあることと、 $P$ が内心であることは同値である。

京都大学 2009年度理系乙数学 理系乙 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2009年度
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